哥德爾不完備性定理的科學哲學透視

哥德爾不完備性定理的科學哲學透視

作者｜熊惠民

作為20世紀數學理論最重要的成果之一，哥德爾不完備性定理被譽為“數學和邏輯發展史中的里程碑”[1]。哥德爾定理的提出不僅具有數學意義，而且蘊含了深刻的哲學意義。歷史上從來沒有哪一個數學定理能夠如它一樣，對人類文明產生如此廣泛而深遠的影響。隨著科學技術的進步，哥德爾思想的深刻性和豐富性，必將在人類理性的發展過程中不斷突顯出來，并不斷為人的思維所理解。

01.

↑哥德爾

哥德爾不完備性定理是數理邏輯學中論述形式公理化系統局限性的兩條重要定理，它由偉大的奧地利數學家哥德爾于1931年提出。哥德爾寫道：“眾所周知，數學朝著更為精確方向的發展，已經導致大部分數學分支的形式化，以致人們只用少數幾個機械規則就能證明任何定理。因此人們可能猜測這些公理和推理規則足以決定這些形式系統能加以表達的任何數學問題。下面將證明情況并非如此。”[2]

哥德爾第一條定理指出，若形式系統是相容的，則此系統必定是不完備的。也就是說在系統中的一個有意義的命題，既不能用系統中的公理和推理規則加以證明，也不能用系統中的公理和推理規則加以否證，即成為不可判定的命題。那么有什么命題是不可判定的呢？哥德爾第二條定理說，上述形式系統的相容性就是不可判定的。

以前數學家總以為：如果某個命題是正確的，一定可以用數學演繹方法證明其為真；如果某個數學命題是錯誤的，也一定又可以用數學演繹方法證明其為假。正如法國數學家龐加萊所說：“在數學中，當我擬定了作為約定的定義和公設以后，一個定理就只能為真或為假。但是，要回答這個定理是否為真，就不再需要我們將要求助的感覺證據，而要求助于推理。”[3]哥德爾不完備性定理的建立一舉粉碎了數學家兩千年來的信念。它告訴我們，真與可證是兩個概念[4]。“可證性”涉及到一個具有能行性的較為機械的思維過程；而“真理性”則涉及到一個能動的超窮的思維過程。因此，可證的一定是真的，但真的不一定可證。從這個意義上說，悖論的陰影將永遠伴隨著我們。無怪乎著名數學家外爾發出這樣的感嘆：“上帝是存在的，因為數學無疑是相容的；魔鬼也是存在的，因為我們不能證明這種相容性。”[5]266

02.

↑惠勒

哥德爾的結論是劃時代的，著名物理學家惠勒在1974年發表的一篇文章中就曾斷言：“即使到了公元5000年，若宇宙仍然存在，知識也仍然放射出光芒的話，人們就將仍然把哥德爾的工作……看成一切知識的中心。”[1]哥德爾思想具有潛在的科學和哲學價值，它已經被引申到自然科學乃至人文科學的各個角落，對數學、邏輯、語言、人工智能、自然科學、思維科學和認識論的研究提供了有益的啟示。

第一，哥德爾不完備性定理深刻地揭示了形式系統的內在局限性。這種局限性是由形式系統的本質所決定的，是不可克服的。因為一個形式體系的無矛盾性在本質上是超越這個形式體系的。它處在一種兩難境地：或者允許在邏輯思維中有矛盾存在，或者承認存在著邏輯方法證明不了的本邏輯系統內部的問題。因此，那種希望把數學搞成一個形式化系統，希望所有的猜想都能從邏輯出發加以判定，希望永遠不發生“出乎始料”的事，是不可能實現的。數學不等于邏輯，重要的數學成果并不總是能從公理直接邏輯地推出，數學的神奇之處主要扎根于觀察、直覺和靈感。

事實上，不論是作為科學認識前提的公理、假設，還是在一定前提下的邏輯推理，都有其預設的不可證明的信念。人類認識世界總在一定的信念指導下的邏輯展開，并在獲得新知識的過程中不斷擴展著對世界新的觀念。因此，信念的合理性是相對的，它要隨著認識的深化而不斷發展變化。在信念轉化為知識的過程中，真正起作用的是科學家的非機械的、非邏輯的智力創造，邏輯的一致性只是一種理想的指向和要求。

第二，哥德爾不完備性定理也進一步揭示了人工智能系統的局限性，從本質上證明了機械論、還原論是錯誤的。按照他們的觀點，精神活動過程同機器執行程序一樣，不過是在從事某種良定義的被稱為“算法”的運算過程，而人腦和簡單的計算機的主要差別僅僅在于人腦活動具有更大的復雜性，或者表現為更高級的結構，人的所有精神品質，包括思維、情感、智慧、意識都不過是大腦執行的“算法”特征而已。

但是，人腦終究不能解釋成機器，計算機絕不可能超越人類心智。“因為，無論我們構造出多么復雜的機器，只要它是機器，就將對應于一個形式系統，就能找到一個在該系統內不可證的公式而使之受到哥德爾理論的打擊，機器不能把這個公式作為定理推導出來，但是人心卻能看出它是真的。因此這臺機器不是心的一個恰當模型。我們總想制造心的一種機械模型，即從本質上是‘死’的模型，而心是‘活’的，它總能比任何形式的、僵死的系統干得更好”[6]。這也誠如英國數學家、物理學家羅杰.彭羅斯所說，人類判斷數學真理的過程是超越任何算法的，因為，意識是我們賴以理解數學真理的關鍵，這種意識是我們能夠借直覺的洞察力“看出”某些在數學形式系統中不能證明的數學命題的真理性，而意識是不能被形式化的，它必定是非算法的。因此，計算機不過是強人工智能專家所鐘愛的一副“皇帝新腦”而已[7]。

第三，數學是科學的基礎，數學的不完備性說明科學結論也是不完備的。自從近代科學開始自然的數學化努力以來，科學問題就是被數學編碼的問題，科學結論就是被數學化的結論。正是由于作為科學的語言、模式、方法和工具的數學本身的不完備性，導致了由它所表述、繪制的科學結論的不完備性。

科學結論的不完備性具有重大的科學價值。科學結論的不完備性預示著存在著許多不可解的科學問題或否定性的科學結論，從而產生了一大批限制性成果。如，計算機與人工智能之父圖靈證明沒有一個程序能夠證明檢驗任何程序是否將在某個時候停止（即停機問題）。

科學結論的不完備性還有著獨特的哲學意義。正如我國著名科學家郝柏林院士所言，“否定比肯定更具普遍性”[8]。在科學上，一個否定性結論的形成往往標志著一個新科學方向的產生。認識到絕對溫度零度不能達到，恰恰是低溫物理學的開始；認識到質點不能超光速運動，正好是相對論的開端；認識到測不準原理，恰好是量子力學的誕生；如今，又是由于不確定性、不可預測性現象的發現，一門全新的復雜性科學正在蓬勃興起。

第四，哥德爾不完備性定理從科學的層次上揭示了人類認識的局限性。在回答有關自然和人類社會的問題上，許多人似乎從來就沒有經過認真地思考便不由自主地接受了人的心智或認知能力是沒有根本性限制的觀點。但是，自己的創造物正是反觀自己的最好鏡面，數學作為人類心智與理性的產物，正好反觀了人類認知的局限性或不完備性。形式系統的不完備性必然根源于它的創造者的不完備性。

人類心智與理性的不完備性也是基于人類及其心智和理性均是生物進化的產物這一基本認識的必然推斷。只要人們承認這一進化論的結論，那么就不難認識到，人類的心智與理性是受制于進化水平的。也就是說，人類進化到什么程度，其心智與理性便達到什么水準，它們是處在一個不斷進化的過程之中的，它們本身就是人類生命的一個有機組成部分。這樣一來，任何一個特定歷史階段，人的心智與理性水準都是有限的，它不可能窮盡無限，達到全知。心理與理性的這種有限性或局限性，必然通過自己的不完備的創造物得以顯現。

03.

哥德爾定理也同樣震撼到西方以笛卡爾、洛克為代表的基礎主義知識論傳統。長期以來，知識的確定性是人類認識客觀世界所堅守的信條。羅素就曾經說過：“我像人們需要宗教信仰一樣渴望確定性。”[5]230人們普.遍認為，真正的知識不同于意見或主觀信念，它是絕對確定的、必然的真理，不容置疑。這一根深蒂固的觀念始于柏拉圖對知識的探詢。他認為知識源于獨立于時空之外的、不可知覺的理念世界，而在理念世界中的事物是永恒的、確定不變的，因此知識是確定的、可靠的、真實的。而意見或信念卻源于可感知的現象世界，現象世界中的事物是短暫的、流變的、不確定的，因此意見或信念是不可靠、不確定的。兩千多年來，人們的認識總是在思維中舍棄對象世界和自身的不確定性的因素，通過思維中的確定性來建構對象世界的確定性，從而達到對對象世界的確定性認識。

數學知識的確定性、絕對性和永恒性觀念有著悠久的歷史傳統。歐幾里德幾何學曾經代表了認識追求確定性的不可抗拒的尊嚴。自古希臘確立理性主義的認識方式以來，認識總是追求具有普遍必然性的確定性知識。理性主義知識論者笛卡爾更是將數學視為知識的唯一范式，“因為它的立足于公理上的證明是無懈可擊的，而且是任何權威所不能左右的。數學提供了獲得必然結果以及有效地證明其結果的方法”[9]6。

知識的確定性觀念伴隨著數學強大無比的對自然現象的闡釋力被進一步強化了。拉普拉斯甚至說，“世界的未來是完全由它的過去決定的，而且只要掌握了這個世界在任一給定時刻的狀態的數學信息，就能預報未來”[9]230。正是由于先賢建構并確立了追求確定性知識的科學認識的思維方式并形成傳統，后來的哲學家總是尋求對所獲得的科學知識進行普遍必然性的邏輯辯護。直到今天，確定性依然是絕大多數人心目中科學之為科學的本質特征。這是傳統知識論的主題，也是科學哲學的主題。

但是哥德爾不完備定理說明，不確定性是人類認識的形式邏輯思維本身固有的。即使純粹數學也無法徹底達到確定性，進一步，數學概念和理論如果結合于人們的實際經驗和科學觀察，就會產生更大的不確定性。因而，在任何認識中絕對的確定性是沒有的。“哥德爾直言不諱地說過，我們沒有任何絕對確定的知識。言外之意，哪怕極其簡單的事情，我們也無絕對把握說自己完全捕獲了堪稱終審法庭的客觀實在”[10]。克萊因對此總結為，“人類對于宇宙以及數學地位的認識已被迫作出了根本性的改變，…。現在我們知道，數學已不再受到普遍尊重和景仰。數學曾經被認為是精確論證的頂峰，真理的化身，是關于宇宙設計的真理”[5]序。“這可能是本世紀某些人聲稱的數學的一大特征，即其結果的絕對確定性和有效性已喪失”[5]269。著名物理學家霍金則詼諧地說：“上帝不僅擲骰子，有時他還把骰子扔到了找不到它們的地方。”[11]

承認知識的不確定性，對建立正確的科學觀有何重要意義？我們認為，科學上的結論其實并不具有許多人所堅持的本體論意義，而只具有認識論意義。這就是說，我們反對把科學結論看作是對真實世界的終極反映，相反，科學結論只是人們用心智與理性構建的自然圖景。具體說，相對論中的質點不能超光速運動，只是相對論自然圖像中的表象，它與真實世界中的物質是否可以超光速運動并不相干，或者說，它并不能排斥真實世界中（可能存在的）物質的超光速運動。量子力學中的測不準原則，也只是量子力學自然圖景中的表象，它并不排斥真實世界中的粒子總是存在著確定的位置和速度，只不過人們無法同時測量出它們的精確值。如今混沌學、復雜性科學中所揭示出的一些不可計算、不可預測現象，依然是自然圖景中的表象，不可計算，不可預算，只是在認識論意義上反映了人的認知的一種缺陷，這絲毫不影響真實世界本身的“計算”。“自然界不是存在著，而是生成著并消逝著”[12]。無論人類為它繪制的圖景是不是像，它都毫不在乎，并自在地生成著，消逝著。圖景只于繪制它的人類有益。

但另一方面，絕對確定性知識的不可能與知識不確定性的凸現，并不意味著知識論的“死亡”，而是知識論的“新生”。知識的確定性應由此獲得新的意義，它可視為人類理性的一種理想追求。知識“盡管并不是完美的佳作，即使不斷完善也未必能去除所有的瑕疵，然而它是人類與感性知覺世界之間最有效的紐帶”[5]366，“就知識的確定性而言，數學是一種理想，我們為這一理想而奮斗，盡管我們也許永遠不會到達。確定性也許只不過是我們在不斷捕捉的一個幻影，它是如此無止境地難于捉摸。然而理想具有力量和價值，公正、民主和上帝都是理想。的確，也有在上帝的幌子下被謀殺的人，審判不公的案件也臭名遠揚，但是，這些理想是千百年來文化的重要產物”[5]366。

因此，追求絕對確定性知識的不可能，并不意味著我們在知識的可靠性上，一定要采取一種徹底懷疑主義的態度。懷疑主義雖給我們提供了更深更廣的思想空間，但它的假設性前提——知識如沒有絕對正確的把握就不應產生，也是不現實的。世界上雖沒有那種不容置疑的絕對確定性知識，但知識也不是非要有這種不容置疑的絕對確定性不可。因為，盡管我們對任何事物的認識隨時都會犯錯誤，但是我們的認識畢竟在這樣的易謬論中真的前進了。知識的歷史，就是人類不懈追求知識的絕對確定性而逐步顯現知識的不確定性的歷史。

【參考文獻】

[1]　鄭毓信.不完備性定理：一切知識的中心——讀《GEB——一條永恒的金帶》[J].讀書，1985(8):12-16.

[2]　Kurt Gdel. On Formally Undecidable Propositions ofPrincipia Mathematica and Related Systems[M]. Mineola, NY: Dover Publications,1992.

[3]　郝寧湘，郭貴春，數學：我們能夠對你說些什么？[J].科學技術與辯證法，2004,21(1):30-34.

[4]　陳慕澤.正確理解哥德爾不完備性定理[J].湖南科技大學學報：社會科學版，2008(2):27-30.

[5]　M.克萊因.數學：確定性的喪失[M].李宏魁，譯.長沙：湖南科學技術出版社，1997.

[6]　Lucas, J. R. Minds, Machines and Gdel[J].Philosophy, 1961(36):112-127.

[7]　羅杰.彭羅斯.皇帝新腦——有關電腦、人腦及物理定律[M].許明賢，吳超忠，譯.長沙：湖南科學技術出版社，1994.

[8]　郝柏林.混沌與分形[M].上海：上海科學技術出版社，2004.

[9]　M.克萊因.古今數學思想：第2冊[M].北京大學數學系數學史翻譯組，譯.上海：上海科學技術出版社，1981.

[10]　王浩.哥德爾[M].上海：上海譯文出版社，1997.

[11]　S.W.霍金.果殼里的60年[M].李泳，譯.長沙：湖南科學技術出版社，2005.

[12]　恩格斯.自然辯證法[M].于光遠，等譯.北京：人民出版社，1984.

熊惠民｜著，文章原載《武漢理工大學學報(社會科學版)》2008

文章僅用于分享交流不作商業用途

如有侵權請聯系后臺刪除

聽哲學獨家資源

↓文史哲福利群↓

上圖掃碼回復：福利資源

優質思想雜志

《三聯生活周刊》

5 折 訂 閱

火 爆 進 行

官方5折

三聯生活周刊

全年52本雜志

每月底郵寄一次

原價：780元

5折特惠：390元/年

↓點擊訂閱↓

官方鏈接 · 5折

全年預訂52本雜志 = 390元

（單本低至：7.5元）

《三聯生活周刊》不追逐表面熱點，而是以細膩觀察與深度思辨，穿透事件表象，探討生活的本質。

每周1期，全年52期。從熱點新聞、社會、經濟、消費、理財、文化，到考古、科技、人物、國際、娛樂……包羅萬象。

內容跨越文史哲、政經法等核心思想維度

全方位助你構建認知框架

《三聯生活周刊》5折預訂活動正在火熱進行中，性價比極高：全年52期，單本低至7.5元，即可收獲一整年的高維認知滋養，并附有專屬贈品。

贈品1三聯精選期刊1本

贈品2《世界三大博物館》增刊1本

官方訂閱

《三聯生活周刊》

全年5折

原價780元

折后：390元/年

每月底郵寄一次

訂購周期：以鏈接顯示為準

↓點擊訂購↓

5折特惠 · 全年刊

官方正品！ 品質保障