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聞樂 發自 凹非寺
量子位 | 公眾號 QbitAI
AI進軍數學界的速度太快了。
OpenAI前腳剛用內部模型突破埃爾德什的80年單位距離問題，谷歌DeepMind后腳就解決一個同樣卡了人類56年的埃爾德什數學難題——
最新發布AlphaProof Nexus，一套由Gemini驅動的智能體框架，一出手就是9個埃爾德什開放問題
除了這9道，它還順手證明了OEIS整數序列百科里的44個猜想、搞定了一道擱置15年的代數幾何難題、還改進了凸優化領域里一個沿用已久的理論邊界。
推理成本呢？每道題幾百美元，整套證明代碼也全都開源放在了GitHub上。
這篇論文共有20位作者，其中的Aja Huang，也是2016年AlphaGo的核心研究員。
56年沒人做出來的題，AI 給了什么答案
AlphaProof Nexus解決的這幾道題，咱挑三道最有意思的說說。
Erd?s#12，1970年提出，懸置56年
這道題問的是：你能不能找出一個無限大的整數集合，滿足兩個聽起來很別扭的條件：
第一，任意從中挑三個不同的數字a、b、c，a永遠不能整除b加c的和。
第二，這組數不能太零散，在自然數里要保持一定的密度。
簡單理解就是，這群數字之間，既不能一個數整除另一個數，也不能一個數整除另外兩個數的和，同時數字還要分布得相對密集，不能只挑寥寥幾個數投機取巧。
從1970年開始，就沒人能給出這個集合的完整構造，各種局部進展有，但始終拼不成一個整體解。
AI的解法是用中國剩余定理把大問題拆成許多個獨立的區塊，每個區塊內部用三項等差數列的回避集來滿足約束，然后把所有區塊拼回一個完整的無限集。
Erd?s#125，1996年提出，30年沒有定論
這道題聽著就更奇怪了。
想象兩個數字集合：第一個集合里全是“在三進制下只由數字0和1組成的整數”，第二個集合里全是“在四進制下只由數字0和1組成的整數”。把這兩個集合里所有數字兩兩相加，得到一個新集合。
問：這個新集合里的數字在自然數中出現的頻率（數學上叫下密度）是不是正的？
直覺上你可能會覺得，兩種集合包含的數字本來就不算很多，加起來應該也挺稀疏的。
但稀疏到什么程度？是徹底稀到密度歸零，還是多少保持一點正密度？
這中間的差別非常微妙，1996年提出后一直沒定論。
AI的答案是：密度為零。
證明思路是log?除以log?是無理數。這意味著3的冪次和4的冪次可以以任意精度彼此逼近。
利用這一點，AI構造了一個歸納性稀疏化論證：不斷找到兩個幾乎對齊的尺度，讓密度以0.99的比率一步步衰減，直到徹底歸零。
一個純數論的性質，解決了一個組合幾何的問題。
Erd?s#846，1992年提出，卡了人類34年。
這是個平面幾何題，AI證明了存在這樣一個無限擴展的平面點集：
你從中任意挑出有限個點，總能發現其中大部分點是不共線的——
隨便截一段，看起來都挺正常，但當你試圖把這個無限集合拆分成有限個“絕對沒有任何三點共線”的子集時，辦不到。
一個集合的每個有限局部都正常，但整體頑固得不可拆分。這種全局與局部的張力，是組合幾何里最難的那一類問題。
AI把完全圖的每條邊映射到平面上一個點，用二次多項式編碼坐標，再拉上無窮Ramsey定理完成證明，把一個幾何問題翻譯成了圖論和邏輯的語言。
除了這三道，還有六道分別在整除集構造、范德瓦爾登數間隙、西頓集孤立點、集合拆分密度等領域。
同時，AlphaProof Nexus還在OEIS整數序列百科里證明了44個開放猜想，在代數幾何那邊解決了一道希爾伯特函數對數凹性的15年懸案，凸優化那邊改進了一個錨定梯度下降法的理論邊界。
菲爾茲獎得主陶哲軒曾經提醒過，AI目前解決埃爾德什問題的實際成功率大約在1-2%，這次谷歌的系統挑戰了353道題，解開9道，比例剛好對上了。
用幾百美元算力換一道56年難題
AlphaProof Nexus的架構核心用一句話就能說清楚，Gemini 3.1 Pro生成Lean語言證明步驟→Lean編譯器逐行檢查→報錯直接反饋給模型→模型根據報錯修改→再檢查→循環到全部通過。
好家伙，這有點像平時寫代碼，只不過現在Debug的是數學定理……
在這套框架里，DeepMind設計了四個Agent
最簡單的Agent A是同時啟動多個獨立子Agent，先靠Gemini 3.1 Pro梳理解題思路，動手編寫證明代碼。
寫完立刻交給編譯器核驗，一旦報錯，錯誤信息就會傳回模型，讓它不斷修改、重試，直到通關。
全程沒有額外輔助工具，純靠寫代碼+查錯循環。
Agent B多了一樣東西，AlphaProof。
AlphaProof是DeepMind之前專門為奧數級別題目訓練過的強化學習證明工具。
當Agent A模式在某個小步驟上反復卡住、編譯器反復報錯也修不過來時，Agent B可以調用AlphaProof做一次強化學習驅動的樹搜索，專門攻擊這個局部難點。
Agent C引入了進化算法的思路。
前面兩種Agent的子Agent都是各自獨立工作的，互不交流。
Agent C是所有子Agent共享一個證明草圖種群，每一個子模塊都會產出不同的證明草稿。
然后由另一個模型從合理性、清晰度、新穎性三個維度給每一份草稿打分，用Elo評分系統排名。
高分草稿會相互組合，衍生出新解法，低分草稿直接淘汰，整個種群在證明空間里做進化搜索。
Agent D是全功能完全體，進化篩選思路+專項工具攻克難點+大模型邏輯推理，三股力量在一個框架里協同，也是這次批量破解難題的主力。
這么看下來，我以為最強的Agent D應該會碾壓一切，Agent A只當個對照組。
結果沒想到論文里表明最簡單的Agent A，同樣能解出全部9道題
沒有進化算法，沒有AlphaProof，就一個LLM循環加編譯器反饋的Agent A，只是在難題上更費錢一點。
研究團隊把原因歸為兩個：
- 一是Gemini 3.1 Pro本身的能力已經足夠強了；
- 二是Lean編譯器的那層實打實的糾錯反饋，對AI的引導作用，遠比人們預想的更大。
這個結果或許也在預示著，未來隨著大模型能力持續升級，復雜的多工具組合系統，可能不再是剛需，只用大模型+專業校驗工具這套簡單循環，就能搞定大多數數學難題。
而且這套方案的優勢也體現在成本上，單題僅需幾百美元。
埃爾德什生前為這些難題設置了懸賞，只是他不會想到——
解開這些謎題的可能不是人類智慧，而是算力。
論文地址：https://arxiv.org/abs/2605.22763v1
Github地址：https://github.com/google-deepmind/alphaproof-nexus-results
[1]https://x.com/pushmeet/status/2058936037754224998
[2]https://the-decoder.com/google-deepminds-alphaproof-nexus-solves-decades-old-math-problems-for-a-few-hundred-dollars/
— 完 —
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