北京
“阿米巴每三分鐘就分裂一次，種群應該增長，滅絕不可能是必然的?！边@道題最常見的第一個回答，看似合乎直覺，卻完全錯誤。在量化金融面試中，從高盛、摩根士丹利到城堡投資、雙西格瑪，這道關于單個阿米巴最終滅絕概率的題目反復出現，考的就是候選人是否跳脫直覺，認得出分支過程這個框架。
題目設定很簡潔：初始僅一只阿米巴。每一分鐘，它獨立且等可能地做三件事之一——以各三分之一概率死亡并留下零后代、存活不變且不產生新細胞，或分裂成恰好兩只阿米巴。兩只子代阿米巴在下一分鐘又各自面對同樣的三種可能，完全獨立，彼此互不干擾，這樣無窮進行下去。問的是：整個種群最終在某時刻走向滅絕——即數量變為零——的概率是多少？這里“最終滅絕”指的不是固定時間窗口內滅絕，而是無限時間跨度下，種群清零的概率為正的可能性，以及這個概率的具體數值。而答案如我們將看到的，等于1。這意味著滅絕不僅是可能的，而是必然發生，永遠存活的概率為零。
第二個常見錯誤比直覺派的答案更精致，也更隱蔽：“既然每次分裂的期望后代數正好是1，種群規模的期望恒定，那么種群是一個鞅，由鞅收斂定理，它會收斂到某個正極限?！边@個推理錯得微妙。一個非負鞅確實幾乎必然收斂到一個非負極限，但收斂到零并不違反定理，而且從分支過程的遞歸結構看，最終滅絕正是那個必然的收斂結果。
正確解法只需要全概率公式、一個二次方程，以及對根的審慎選擇。設滅絕概率為p，從第一分鐘的三種情況入手：如果第一分鐘阿米巴直接死亡（概率1/3），滅絕事件立即發生，條件概率為1；如果幸存但未分裂（概率1/3），狀態不變，后續滅絕概率還是p；如果分裂成兩只（概率1/3），兩只后代各自獨立滅絕的概率都是p，因此兩只都滅絕的條件概率為p2。由此得到方程 p = 1/3 × 1 + 1/3 × p + 1/3 × p2。整理后 p2 - 2p + 1 = 0，即(p - 1)(p - 1/2) = 0，有兩個根 p=1 和 p=1/2。關鍵的一步是判斷哪個根正確。
如果滅絕不是必然的，p就應取1/2，這意味著有1/2概率種群永不滅絕。但種群動態類似一個漂移為零的隨機游走：即使種群規模一度很大，比如有1000只阿米巴，下一分鐘部分死亡、部分留存、部分分裂，期望凈增長為零。漂移為零的隨機游走從任何正數出發，最終以概率1擊中零，而“擊中零”就等于滅絕。因此p=1才是分支過程在這個設定下的真實解，p=1/2對應的是一種虛構的、永遠不會收斂到零的可能性，與零漂移隨機游走的性質矛盾。
這正是這道面試題的魅力所在：它層層剝開直覺、數學工具誤用，最終要求你意識到，即便個體平均繁衍能力剛好維持規模不變，隨機波動的累積依然會把整個種群推入滅絕。確定性滅絕的結果在分支過程框架下是嚴格成立的，不需要復雜證明，只需要承認遞歸結構和正確選擇方程根。
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